☛ * Symétrie centrale

Énoncé
Dans un repère orthonormé \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère les points \(\text T \left( -3~;3 \right)\), \(\text U \left( 4~;-1 \right)\) et \(\text V \left( 1~;5 \right)\). Le point \(\text V\) est-il le symétrique du point \(\text T\) par rapport au point \(\text U\) ?

Solution

Il s'agit de déterminer si le point  \(\text U\) est le milieu du segment \([\text{TV}]\).

Soit \(\text M\) le milieu du segment \([\text{TV}]\).

Alors on a \(\text M \left( \dfrac{x_{\text{T}} + x_{\text{V}}}{2} ; \dfrac{y_{\text{T}} + y_{\text{V}}}{2} \right)\) soit \(\text M \left( \dfrac{-3 + 1}{2} ; \dfrac{3 + 5}{2} \right)\) soit \(\text M \left( -1 ; 4 \right)\).

On constate que les points \(\text U\) et \(\text M\) ne sont pas confondus.

Donc le point  \(\text U\) n'est pas le milieu du segment \([\text{TV}]\).
Le point \(\text V\) n'est pas le symétrique du point \(\text T\) par rapport au point \(\text U\) .